Μη ευκλείδειες γεωμετρίες

Με τον όρο μη ευκλείδειες γεωμετρίες ονομάζουμε κάθε μοντέλο γεωμετρίας το οποίο στηρίζεται στα περισσότερα από τα αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας αλλά δεν αποδέχεται κάποιο από τα αιτήματά της. Κυρίως αναφέρεται στις γεωμετρίες οι οποίες δεν αποδέχονται το 5ο αίτημα του Ευκλείδη, ότι δηλαδή από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος. Σήμερα οι κύριοι εκπρόσωποι αυτών των γεωμετριών είναι η υπερβολική γεωμετρία του Lobachevsky και η σφαιρική γεωμετρία του Riemann.

1) Υπερβολική γεωμετρία

Στα μαθηματικά, η υπερβολική γεωμετρία (επίσης ονομάζεται γεωμετρία του Λομπατσέφσκι (Лобаче́вский)) είναι μια μη-ευκλείδεια γεωμετρία, δηλαδή μια γεωμετρία στην οποία ορισμένα από τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας δεν ισχύουν. Συγκεκριμένα, στην υπερβολική γεωμετρία δεν ισχύει το αξίωμα των παραλλήλων. Το αξίωμα των παραλλήλων της δισδιάστατης ευκλείδειας γεωμετρίας αντιστοιχεί στην πρόταση ότι, για οποιαδήποτε (ευθεία) γραμμή I και ένα σημείο P που δεν ανήκει στην I υπάρχει ακριβώς μία και μόνο (ευθεία) γραμμή που διέρχεται από το P και δεν τέμνει την I, δηλαδή είναι παράλληλη στην I. Στην υπερβολική γεωμετρία υπάρχουν τουλάχιστον δύο ξεχωριστές γραμμές που διέρχονται από το P και οι οποίες δεν τέμνουν την I, και το αξίωμα των παραλλήλων ευθειών είναι για την υπερβολική γεωμετρία εσφαλμένο. Έχουν κατασκευαστεί μοντέλα εντός της ευκλείδειας που υπακούν στα αξιώματα της υπερβολικής γεωμετρίας, το οποίο δείχνει ότι το αξίωμα των παραλλήλων είναι ανεξάρτητο από τα άλλα αξιώματα του Ευκλείδη.

Δεν υπάρχει ακριβές υπερβολικό αντίστοιχο των ευκλείδειων παράλληλων ευθειών, με αποτέλεσμα η χρήση του όρου παράλληλο να ποικίλει ανάμεσα στους συγγραφείς. Σ ’αυτό το άρθρο, δύο γραμμές που δεν τέμνονται όσο κι αν τις επεκτείνουμε ονομάζονται ασυμπτωτικές και δύο γραμμές που έχουν μία κοινή κάθετο ονομάζονται υπερπαράλληλες: η απλή λέξη παράλληλη μπορεί να αναφέρεται και στα δύο είδη γραμμών.

Μία χαρακτηριστική ιδιότητα της υπερβολικής γεωμετρίας είναι ότι το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου αντιστοιχεί σε λιγότερο από μία ευθεία (μισό ημικύκλιο). Στο όριο, καθώς οι κορυφές πηγαίνουν προς το άπειρο, υπάρχουν ακόμη και ιδεατά υπερβολικά τρίγωνα με άθροισμα γωνιών 0 μοίρες.

2) Σφαιρική (λέγεται και ελλειπτική) γεωμετρία

Η Σφαιρική γεωμετρία είναι ιδιαίτερος κλάδος της μη Ευκλείδειας γεωμετρίας που πραγματεύεται ειδικά την κυρτή επιφάνεια της σφαίρας εξετάζοντας και μετρώντας τόσο αποστάσεις όσο ειδικότερα τα σφαιρικά τρίγωνα. Συναφής δε κλάδος είναι και ησφαιρική τριγωνομετρία.

Σε αντίθεση με την επιπεδομετρία όπου βασικές έννοιες μετρήσεων είναι σημεία, ευθείες γραμμές και επίπεδες γωνίες στη σφαιρική γεωμετρία αντίστοιχα είναι ίχνη σημείων, αποστάσεις, κατ΄ ονομασία «συντομότερες», που αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων και δίεδρες γωνίες επιπέδων μεγίστων κύκλων. Ένα πρόσθετο στοιχείο που λαμβάνει υπόψη είναι ο λεγόμενος αντίποδας ενός σημείου ή ίχνους σημείου.

Σε εφαρμογή των παραπάνω εννοιών στην επιφάνεια της Γης χαρακτηρίζονται επίσης γεωδαισιακές, σε εφαρμογή επί της ουράνιας σφαίρας λέγονται "αστρονομικές" ή "ουράνιες" όπου και ορίζονται με ανάλογα συστήματα συντεταγμένων. Κατ΄ επέκταση και η μετρική αστρονομία χαρακτηρίζεται σφαιρική αστρονομία.

Συχνότερη κλασική χρήση σφαιρικής γεωμετρίας κάνουν τόσο η Αστρονομία όσο και η Ωκεανοπλοΐα καλούμενη επί τούτου και "αστρονομική ναυτιλία", η μεν πρώτη στις διάφορες αστρονομικές παρατηρήσεις και μελέτες, η δε δεύτερη κυρίως στην εύρεση γραμμής θέσεως ή την επίλυση του τριγώνου θέσεως για τον προσδιορισμό του γεωγραφικού στίγματος.